CDS परीक्षा में ज्यामितीय सवालों को हल करने की टिप्स एवं ट्रिक्स!

By Akanksha Jigyasu|Updated : July 4th, 2018

CDS परीक्षा के गणित खंड में ज्यामितीय भाग से लगभग 18-20 सवाल पूछे जाते हैं, जिसमें प्रत्येक सवाल 1 अंक का होता है। अतः 100 अंक के गणित खंडे में, ज्यामितीय का संयुक्त रक्षा सेवा परीक्षा में अहम स्थान है, और इसलिए इस परीक्षा के लिए ज्यामितीय की गहरी समझ विकसित करना प्रतियोगी के लिए बहुत जरूरी है।

यहां CDS परीक्षा के ज्यामितीय भाग की तैयारी करने के लिए कुछ महत्वपूर्ण टिप्स दी गई हैं। विभिन्न आकृतियों के गुण और CDS के लिए ज्यामितीय की तैयारी हेतु टिप्स का अच्छे से अध्ययन किए जाने पर, यह अवश्य ही परीक्षा में अच्छे अंक लाने में आपकी मदद करेगा।

CDS परीक्षा के लिए ज्यामितीय की तैयारी कैसे करें?

CDS परीक्षा के गणितीय खंड में ज्यामितीय विषय से पूछे जाने वाले सवाल तीन भागों से आते हैं :-

  • निर्देशांक ज्यामितीय
  • रेखा, कोण और उनके गुण
  • त्रिभुज के गुण, वृत्त, आयत, वर्ग, बहुभुज इत्यादि.

हल CDS परीक्षा के लिए प्रत्येक विषय को बारी-बारी से पढ़ेंगे। शुरूआत करने से पहले, कृपया ध्यान दें कि हमनें ऊपर बताईं गईं आकृतियों की मूलभूत गुणों पर चर्चा नहीं की है।

त्रिभुज (Triangle) और उनके गुण:

यहां त्रिभुज के मूलभूत गुण दिए गए हैं :-

  • किसी त्रिभुज का बाह्य कोण आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होता है।
  • किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
  • किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई का अंतर उसकी तीसरी भुजा से छोटा होता है।

 केन्द्रक (Centroid)

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  • यह त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं का कटान बिंदु होता है। नीचे दी गई आकृति में, O केन्द्रक है, और BD = CD, AE = EC और AF = FB
  • AO:OD = 2:1 (यह CO:OF और BO:OE के लिए भी सत्य है)
  • AB2 + AC2 = 2 (AD2 + BD2) (अपोलीनियस प्रमेय)
  • (किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग = 2(त्रिभुज की तीसरी भुजा के आधे का वर्ग + तीसरी भुजा को प्रतिच्छेदित करने वाली माध्यिका का वर्ग)।

 परिकेन्द्र (Circumcentre)

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  • यह त्रिभुज की भुजाओं के लंब समाद्विभाजकों का कटान बिंदु होता है। त्रिभुज ABC के लिए, O परिकेन्द्र है।
  • ऊपर दिखाया गया वृत्त परिवृत्त है और उसका केन्द्र O है। इसकी त्रिज्या को परिवृत्त की त्रिज्या कहते हैं।
  • AB*BC*AC = 4*R * त्रिभुज का क्षेत्रफल (जहां R = परिवृत्त की त्रिज्या है)

 लंबकेन्द्र (Orthocentre)

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  • यह वह बिंदु है जहां त्रिभुज के शीर्षों से सम्मुख भुजा पर डाले गए लंब आपस में मिलते हैं।
  • बिंदु B, C, E और F वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं और एक चक्रीय चतुर्भुज का निर्माण करते हैं।
  • केन्द्रक लंबकेन्द्र और परिकेन्द्र को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

 अंतः केन्द्र (Incentre)

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  • यह वह बिंदु है जहां त्रिभुज के केन्द्रक आपस में मिलते हैं (अंतःकेन्द्र त्रिभुज के अंतःवृत्त का केन्द्र होता है)।
  • अंतःकेन्द्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं से समान दूरी पर स्थित होता है।
  • BD/DC = AB/AC
  • कोण BOC = 90° + कोण BAC का ½
  • त्रिभुज के अंदर वृत्त की त्रिज्या अंतःवृत्त की त्रिज्या होती है।
    (1) समबाहू त्रिभुज = भुजा/(2)
    (2) समकोण त्रिभुज = (लंबवत भुजाओं का योग – कर्ण)/2
    (3) अन्य त्रिभुज = (त्रिभुज का क्षेत्रफल)/(त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप)

वृत्त (Circle) एवं उनके गुण :-

यहां वृत्त के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं :-

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  • वृत्त के केन्द्र से उसकी जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
    कोण OXB = 90°,
    इसलिए, AX = XB
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  • कोण AOC = 2*कोण ABC
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  • अंतः अथवा बाह्य प्रतिच्छेदित करने वाली जीवा के लिए PA* PB = PC*PD

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  • PT स्पर्शी है और PAB विभाजक है, तो
    PA*PB = PT2

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  • XY 2 वृत्तों की अनुस्पर्शी है, तो लंबाई XY 
    = √ {OO’)2 – (R1 - R2)2}

 

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  • XAY दिए गए वृत्त की स्पर्शी है, तो
    कोण XAC = कोण ABC = कोण YAB = कोण ACB

बहुभुज (Polygons):-

  • चक्रीय बहुभुज में सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
  • किसी समबहुभुज में, सभी बाह्य कोणों का योग = 360°
  • n भुजा वाले किसी समबहुभुज में, प्रत्येक बाह्य कोण का मान = 360°/n
  • n भुजा वाले किसी समबहुभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग = (n – 2)*180°

CDS परीक्षा में निर्देशांक ज्यामितीय (Coordinate Geometry) भाग के लिए कुछ क्विक टिप्स:

  • रेखा का समीकरण : ax + by + c = 0
  • ढाल-प्रवणता समीकरण : y = mx + c
    (m = रेखा का ढाल, c = y-अक्ष पर अंतःखंड)
  • ‘m’ ढाल वाली बिंदु (x1, y1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण :
    y – y1 = m (x – x1)
  • रेखा का झुकाव = (y2 – y1)/ (x2 – x1) = - (x का गुणांक / y का गुणांक)
  • यदि ‘θ’ m1 & m2 झुकाव वाली दो रेखाओं के बीच को कोण है, तो,
    Tan θ = (m2 – m1)/ (1 + m1m2) या -(m2 – m1)/ (1 + m1m2)
    Tan θ = 0, रेखाएं समांतर होंगी।
    Cot θ = 0, रेखाएं लंबवत होंगी।
  • एक दूसरे के समांतर रेखाओं को दर्शाया जा सकता है
    ax + by + c1 = 0
    ax + by + c2 = 0
  • एक दूसरे के लंबवत रेखाओं को दर्शाया जा सकता है
    ax + by + c1 = 0
    bx - ay + c2 = 0
  • बिंदुओं (x1, y1) & (x2, y2) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक :
    (x1 + x2)/ 2, (y1 + y2)/2
  • दो बिंदुओं (x1, y1) & (x2, y2) के बीच की दूरी :
    √ [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2]
  • यदि बिंदु (x1, y1), (x2, y2) & (x3, y3) किसी त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल :
    ½ [x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]

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दोस्तों परीक्षा के लिए बहुत-बहुत शुभकामनाएं

टीम ग्रेडअप!

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