Basics of Permutation & Combination

भाज्य-संबंधी(factorial)

क्रमपरिवर्तन और संयोजन इस विषय कि गहराइ मे उतरने से पेह्ले, हमे ‘फक्तोरिअल’(factorial) इस शब्द का मतलब समझ लेना चहिये, ‘1 से लेकर ‘n’ तक कि संख्याओं के गुणाकार को 'n' का फ़ैक्टोरियल कहा जाता है’.

मतलब n! = 1x2x3x4x5x6……..x(n-2)x(n-1)xn

1! = 1

2! = 1x2 = 2

3! = 1x2x3 = 6

4! = 1x2x3x4 = 24

5! = 1x2x3x4x5 = 120

फ़ैक्टोरियल के सम्बन्ध में कुछ महत्त्वपूर्ण सूचना:

0! और 1! = 1.

हम ऋणात्मक संख्या(negative number) का फ़ैक्टोरियल हासिल नहीं कर सकते.

फ़ैक्टोरियल का युपयोग:

फ़ैक्टोरियल आम तौर पर 'व्यवस्था'(arrangement) में इस्तेमाल किया जाता है, तो चलिए पता लगते है की फ़ैक्टोरियल अरेंजमेंट में कैसे मदद करता है.

मानलीजये की हमारे पास 5 व्यक्ति है, और उनकी व्यवस्था हमें 5 रिक्त स्थानों पर करनी है. हम पहले स्थान से शुरुवात करते हैं. हम पांचों में से किसी एक व्यक्ति का चुनाव कर उसे पहला स्थान दे सकते है. ऐसा हम 5 तरीकों द्वरा कर सकते है.

अब हमारे पास 4 स्थान रिक्त है और हमारे पास 4 व्यक्ति भी बचे है, तो हम चरों में से किसी एक को चुन कर उसे दूसरा स्थान दे सकते है. ऐसा हम 4 अलग तरीकों द्वरा कर सकते है.

इसी तरह हम 3 तरीकों से 3 स्थान, 2 तरीकों से दो स्थान तथा 1 तरीके से 1 स्थान दे सकते है. जैसा की हमें पता है की हमें ऊपर दी गयी सारी प्रक्रिया दोहरानी पड़ेगी,  इसलिए हम इन सारे तरीकों को गुणा कर विभिन्न प्रकार की व्यवस्था का हल खोज सकते है.

तो, कुल तरीके = 5x4x3x2x1 जो की है 5! = 120

या हम ऐसा भी कह सकते है की जब भी हमें 'n ' चीज़ों की व्यवस्था 'n ' स्थानों पर करनी है, तो कुल मुमकिन व्यवस्थाएं n ! के बराबर है.

Q.1) PATNA इस शब्द को हम कितने अलग तरीकों में लिख सकते है?

उत्तर: PATNA में 5 अक्शर है, तो हम उन 5 अक्षरों को 5 अलग-अलग स्थानों पर लिख सकते है,

इसलिए 5! = 120.

पर इस शब्द में A दो बार आ रहा है, जब भी किसी शब्द में कोई अक्षर दो बार आये, तब हमें प्राप्त हुई संख्या को दोहराने वाली संख्या से विभाजित करना पड़ता है. याने की कुल 120 तरीकों को 2!=2 से विभाजित करना होगा, जिसका उत्तर 120/2=6०.

सीधा उत्तर:  5!/2! = 60

Q.2) PATNA इस शब्द के प्रत्येक अक्षर का युपयोग कर हम P से शुरू होने वाले कितने शब्द बना सकते है?

उत्तर: PATNA में कुल 5 अक्शर है, प्रश्न के हिसाब से P का पहला स्थान तय है, तो हमें बचे हुए 4 अक्षरों को 4 स्थानों पर बैठाना है, तो 4!=24 तरीके. पर इस सवाल में A दो बार आ रहा है, तो हमें प्राप्त हुई कुल 24 संख्या को 2! से विभाजित करना होगा, 24/2=12.

सीधा उत्तर: 4!/2! = 4*3 = 12

जब हम किसी समूह से कोई वस्तु चुनते है, तो उसकी कोई भी तय व्यवस्था नहीं होती है. ऐसे केसेस में संयोजन(combination) काम में आता है. तो आइये संयोजन के सिद्धांत को संक्षेप्त में समझते है.

संयोजन

संयोजन में हम वस्तुओं को अनियमित तरीके से चुनते है, तथा चुने जाने के अन्य मुमकिन तरीकों की पड़ताल करते है. तो,यह केवल एक स्टेप की प्रक्रिया है. संयोजन को बटोरना भी कहा जा सकता है. संजोजन में इस्तेमाल किया जाने वाले सूत्र है ⁿC_r

ⁿC­_r  = n! / [r! x (n-r)!]

ⁿC­_r = [n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x…...x(n-r+1) x (n-r) X…....x 1] / [1x 2 x 3….. x r] X [(n-r) x……..3 x 2 x 1]

ⁿC­_r  = [n x (n-1) x (n-2) x (n-3)….. x (n-r+1)] / [1x 2 x 3….. x r]

उदाहरण के तौर पे: ¹²C­₂  = 12!/ [2! X (12-2)!] = 12!/ (2! X 10!) = [12 x 11] / [1 x 2] = 66

                                    ⁵C₂  = [5 x 4] / [1 x 2] = 10

ⁿC­_r = ⁿC­_n-r

उदाहरण के तौर पे:  ⁵C₃ = [5 x 4 x 3] / [1 x 2 x 3] = [5 x 4]/[1 x 2] = ⁵C₂ = 10

                                   ¹⁰C₇ = ¹⁰C₃ = [10 x 9 x 8]/[1 x 2 x 3] = 120

Q.3) एक कक्षा में 4 लड़के और 5 लड़कियां है. तो कितने विभिन्न तरीकों का इस्तेमाल करके हम छात्रनायक चुन सकते है?

उत्तर: जैसा की हमें पता है की, हमें 9 विद्यार्थियों में से किसी एक को छात्रनायक चुनना है, तो हम संयोजन के सिद्धांतों का प्रयोग करके उत्तर प्राप्त कर सकते है, तो हमें मिलता है ⁹C₁ = 9/1 = 9

Q.4) एक कक्षा में 4 लड़के और 5 लड़कियां है. तो कितने भिन्न तरीकों से एक लड़के और एक लड़की को दो समूहों का लीडर चुना जा सकता है?

उत्तर: हमें दो समूहों के लीडर के तौर पर, 4 लड़कों में से 1 को चुनना है, तथा 5 लड़कियों में से एक लड़की को चुनना है.

तो चुने जाने के कुल तरीके हैं = ⁴C₁x⁵C₁ = 4x5 = 20

Q.5) 16 खिलाडियों में से हम कितने भिन्न तरीकों से एक क्रिकेट टीम का गठन कर सकते है?

उत्तर: हमें 16 में से 11 खिलाडियों का चुनाव करना है, तो उसका उत्तर होगा 

¹⁶C₁₁ = 16!/5!*(16-5)! = 16!/5!*11! = (16*15*14*13*12)/(1*2*3*4*5) = 4368

Q.6) एक झोले में 5 लाल गेंद तथा 3 नीली गेंदें है. तो हम कितने तरीकों का इस्तेमाल करके झोले में से 2 लाल गेंद तथा 1 नीली गेंद निकाल सकते है ?

उत्तर: झोले में 5 लाल गेंद है, पर हमें सिर्फ 2 लाल गेंद चाहिए. तो लाल गेंद चुनने का तरीका  = ⁵C₂ = 10

उसी प्रकार 3 नीली गेंदों में 1 नीली गेंद चुनने के लिए = ³C₁ = 3

तो 2 लाल और 1 नीली गेंद चुनने के कुल तरीके है = 10*3 = 30

Q.7) 15 खिलाडियों में 11 खिलाडियों की टीम गठित करने के कितने भिन्न तरीके हो सकते है? अगर किन्ही 2 खिलाडी कभी भी चुने न जाये.

उत्तर: हमें दिया गया है की 2 खिलाडी कभी भी चुने नही जायेंगे, जिसका मतलब है की हमें 13 खिलाडियों में से केवल 11 खिलाडियों को चुनना है.

तो चुने जाने के कुल तरीके है = ^(15-2)C₁₁ = ¹³C₁₁ = ¹³C₂ = (13*12)/(1*2) = 78

Q.8) 15 खिलाडियों में 11 खिलाडियों की टीम गठित करने के कितने भिन्न तरीके हो सकते है? अगर किन्ही 2 खिलाडी हमेशा पक्के तौर पे चुने जाये.

उत्तर: हमें दिया गया है की 2 खिलाडी पक्के तौर पर हमेशा चुने जायेंगे, जिसका मतलब है की बाकी बचे हुए खिलाडियों में से केवल 9 खिलाडियों को चुनना है, जिसके लिए हमारे पास 13 विकल्प है.

तो चुनने के लिये कुल तरीके है = ^(15-2)C_(11-2) = ¹³C₉ = ¹³C₄ = (13*12*11*10)/(1*2*3*4) = 715

जब भी हमें एक समूह से कुछ वस्तुओं को चुनना हो तथा चुने जाने की व्यवस्था भी करनी हो, तो ऐसे मौकों में हम क्रमपरिवर्तन(Permutation) का इस्तेमाल करते है, तो आइये परमुटेशन के सिधान्तो को संक्षेप में पढ़ते है.

 क्रमपरिवर्तन 

क्रमपरिवर्तन में हम चीज़ों को चुनते है और फिर उनकी व्यवस्था भी करते है,  क्रमपरिवर्तन दो स्टेप की प्रक्रिया है.

क्रमपरिवर्तन में प्रयोग होने वाला सूत्र है ⁿP_r = n!/(n-r)!

मान लीजये की हमारे पास 5 व्यक्ति है, जिन्हें हमें 3 रिक्त स्थानों पर बैठाना है. तो सबसे पहले हम 5 में से 3 व्यक्ति चुनेंगे. ऐसा हम ⁵C₃  तरीकों में कर सकते है. 3 व्यक्तियों के चुने जाने के उपरांत हमें उन्हें 3 रिक्त स्थानों पर बैठाना होगा, जिसके लिए हम फ़ैक्टोरियल का इस्तेमाल करेंगे. तो 3 लोगों को 3 रिक्त स्थानों पर बैठाने के कुल तरीके है 3!

तो 5 में से 3 लोगों को 3 रिक्त स्थानों पे बैठने के कुल 

 ⁵C₃*3! = ⁵C₂*3! = 5!/(2!*3!) * 3! = 5!/2! = 60 तरीके

Q.9) एक विकेट कीपर और एक गेंदबाज़ को 11 खिलाड़ियों की टीम में से चुनना है. ऐसा कितने तरीकों में किया जा सकता है?

उत्तर: सबसे पहले हम 11 खिलाड़ियों में से 2 खिलाड़ियों को चुन लेते है. तो चुनने के तरीके हैं ¹¹C₂ = (11*10)/(1*2) = 55 

चुने जाने के उपरांत, इन दो खिलाड़ियों की व्यवस्था 2 अलग स्थानों पर 2! = 2 तरीकों से करनी है.

तो एक विकेट कीपर और एक गेंदबाज़ चुने जाने के कुल = ¹¹C₂ *2! = 55*2 = 110 तरीके है

सीधा उत्तर: ¹¹P₂ = 110

Q.10) EQUATION शब्द के अक्षरों की व्यवस्था कुछ इस प्रकार करें की सारे स्वर वर्ण (Vowels). एकसाथ आ जाएँ .

उत्तर: EQUATION शब्द में कुल 5 स्वर वर्ण है (E, A, I, U, O) और 3 व्यंजन (Q, T, N) है. इस सवाल के हिसाब से, सारे स्वर वर्णो को एक साथ लाना है, तो हम मानेंगे की ये 5 स्वर वर्ण एक साथ एक जगह पर है और 3 अन्य व्यंजन बचे हुए 3 स्थानों पर स्थित है. तो कुल 4 स्थान है हमारे पास.

तो इन 4 स्थानों की व्यवस्था के 4! = 24 तरीके है.

एक और बात की ओर ध्यान दें, की स्वर वर्णो की व्यवस्था हम क्रमसर या 5!= 120 तरीकों में कर सकते है.

तो, कुल तरीके है = 24*120 = 2880

सीधा जवाब: 4!*5! = 24*120 = 2880

Q.11) 4 स्थानों के लिया हमारे पास 7 उम्मीदवार है. तो, हम कितने तरीकों से स्थानों की पूर्ती कर सकते है?

उत्तर: सबसे पहले हम 7 में 4 उम्मीदवार चुनलेंगे, चुने जाने के तरीके है

 ⁷C₄ = ⁷C₃ = (7*6*5)/(1*2*3) = 35

चुने जाने के उपरांत, हम 4 उम्मीदवारों की 4 अलग स्थानों पर  4!=24 तरीकों द्वारा व्यवस्था की जा सकती है.

तो स्थानों की पूर्ती करने हेतु 35*24 = 840 तरीकों का इस्तेमाल किया जा सकता है.

सीधा जवाब: ⁷P₄ = (7*6*5*4) = 840

Q.12) 20 विद्यार्थी एक दौड़ में हिस्सा ले रहे है. तो कितने तरीकों में पहले तीन बख्शीश जीते जा सकते है?

उत्तर: सबसे पहले हमें 20 में से किन्ही 3 विद्यार्थियों को चुनना होगा,

 ²⁰C₃ = (20*19*18)/(1*2*3) = 1140

चुने जाने के उपरांत, हम ३ विद्यार्थियों को 3 स्थानों पर 3!=6 तरीकों से ला सकते है           

तो, पहले 3 बख्शीशों को = 1140*6 = 6840 तरीकों में जीता सकते है

सीधा उत्तर: ²⁰P₃ = (20*19*18) = 6840

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के सम्बन्ध में कुछ महत्त्वपूर्ण सुचना

1. जब भी हमें n वस्तुओं की व्यवस्था n स्थानों पर करनी हो तो, हमारे पास व्यवस्था के लिए  n ! तरीके है.
2. जब भी हमें n में से r चीज़ें चुननी हों, तो हमारे पास कुल ⁿC_r चुनने के तरीके है.
3. जब भी हमें n में से r चीज़ों को चुन कर उन r चीज़ों को r स्थानों पर रखने हेतु हमारे पास ⁿP_r तरीके है.

• ⁿC_r = n! / [r! x (n-r)!] 
• ⁿC_r = nC_(n-r)
• ⁿP_r = n!/(n-r)!

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